Алксніс – онук репресованого радянського військовика Якова Алксніса, народився в Кемеровській області, куди була виселена його сім'я. Після реабілітації він та його батьки повернулися до Риги. Закінчив Ризьке вищє військове авіаційне інженерне училище, назване на честь його діда, і проходив службу в Прибалтійському військовому окрузі.
У 1988 році розпочав політичну діяльність, спочатку виступаючи за розширення суверенітету Латвії в складі СРСР, а потім — проти відновлення її незалежності. Восени 1991 року був виключений з Верховної Ради республіки за те, що не подав у відставку з радянської армії. У 1990-х роках входив до просоветських та правих організацій у Москві, брав участь у створенні Російського загальнонародного союзу.
Під час конфлікту президента Бориса Єльцина та Верховної Ради організовував антипрезидентські протести, під час одного з яких був жорстоко побитий ОМОНом. У 2000 році був обраний до Державної Думи, активно підтримував проросійських сепаратистів на території колишнього СРСР, публічно виступав за відокремлення Криму від України. Критикував президента Росії Путіна з правих позицій: "Запам'ятайте мої слова: та шкода, яку сьогодні завдає Росії Путін, багаторазово перевищить ту шкоду, яку завдали Горбачов і навіть Єльцин".
При цьому сам дотримувався еклектичних поглядів, виступаючи проти етнічного націоналізму та комунізму, водночас користуючись підтримкою правого флангу політиків і сталіністів.
Будучи депутатом Державної Думи, Алксніс потрапив в один з перших публічних скандалів у Росії, пов'язаних з блогосферою. Він намагався притягнути до кримінальної відповідальності блогера, який назвав його в соцмережі LiveJournal "патентованим звездоносним м***ком".
У відповіді назвав себе "чиновником категорії А", ця фраза на деякий час стала популярним інтернет-мемом. Був довіреною особою кандидата на пост президента від КПРФ Павла Грудініна, підтримував політичні амбіції Ігоря Стрілкова (Гіркіна).