Алксніс – онук репресованого радянського військовика Якова Алксніса, народився в Кемеровській області, куди була виселена його родина. Після реабілітації він і його батьки повернулися до Риги. Закінчив Ризьке вищє військове авіаційне інженерне училище, назване на честь його діда, служив у Прибалтійському військовому окрузі.
У 1988 році розпочав політичну діяльність, спочатку виступаючи за розширення суверенітету Латвії в складі СРСР, а потім — проти відновлення її незалежності. Осінню 1991 року був виключений з Верховної Ради республіки за те, що не подав у відставку з радянської армії. У 1990-ті роки входив до просоціалістичних і правих організацій у Москві, брав участь у створенні Російського загальнонародного союзу.
Під час конфлікту президента Бориса Єльцина та Верховної Ради організовував антипрезидентські протести, під час одного з яких був жорстоко побитий ОМОНом. У 2000 році був обраний до Державної Думи, активно підтримував проросійських сепаратистів на території колишнього СРСР, публічно виступав за відділення Криму від України. Критично висловлювався про президента Росії Путіна з правих позицій: "Запам'ятайте мої слова: той збиток, який сьогодні завдає Росії Путін, багаторазово перевищить той збиток, який завдали Горбачов і навіть Єльцин".
Водночас сам дотримувався еклектичних поглядів, виступаючи проти етнічного націоналізму та комунізму, при цьому користуючись підтримкою правого флангу політиків і сталіністів.
Будучи депутатом Державної Думи, Алксніс потрапив в один з перших публічних скандалів у Росії, пов'язаних з блогосферою. Він намагався притягнути до кримінальної відповідальності блогера, який назвав його в соцмережі LiveJournal "патентованим звездоносним м***ком".
У відповіді назвав себе "чиновником категорії А", ця фраза на деякий час стала популярним інтернет-мемом. Він був довіреною особою кандидата на пост президента від КПРФ Павла Грудініна, підтримував політичні амбіції Ігоря Стрєлкова (Гіркіна).